Makalah Aljabar Fungsi,Aljabar Fungsi

KATA PENGANTAR

            Syukur Alhamdulillah kami panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya, sehingga saya dapat menyelesaikan makalah ini. Shalawat dan salam semoga senantiasa tercurah kepada Nabi Muhammad SAW yang telah mengantar manusia dari alam kegelapan ke alam terang benderang.

Makalah ini kami buat untuk memenuhi tugas kami, disalah satu mata pelajaran, mengenai Operasi Aljabar pada Fungsi. Untuk itu saya megucapkan terima kasih kepada Guru yang telah membimbing dan mengajarkan saya, dan saya juga berterima kasih kepada teman teman seperjuangan.

Saya menyadari makalah ini masih terdapat kekurangan dan kekhilafan. Oleh karena itu kepada para pembaca, penulis mengharapkan kritik dan saran konstruktif demi kesempurnaan makalah ini.

Semoga makalah ini benar- benar  bermanfaat bagi para siswa dan masyarakat umumnya. Amin ya robbal Alamin.

Lombok Timur,21 September 2017   

Penulis

***************

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai berbagai problem atau permasalahan yang berkaitan dengan aljabar. Berbagai bidang kehidupan telah mengangkat permasalahan-permasalahan aljabar ke dalam bidang mereka sendiri.

Baik dari bidang ekonomi maupun bidang-bidang lainnya, aljabar selalu diterapkan untuk mencapai suatu keputusan dan hasil yang baik. Sehingga tak heran bila kita akan mendapatkan materi pembelajaran Aljabar ketika belajar di kelas.

Dewasa ini, banyak siswa yang belum mengenal bahkan mengetahui tentang materi aljabar. Mereka menganggap aljabar sebagai pelajaran yang menakutkan. Bahkan tak sedikit pula yang benar-benar membenci pelajaran ini.

Beranjak dari situlah, materi aljabar selalu berusaha disajikan dalam bentuk yang lebih menyenangkan. Penampilan-penampilan yang terasa baru memang patut dipertunjukkan untuk meningkatkan kecintaan terhadap aljabar.

1.2 Rumusan masalah

a. Apa yang dimaksud aljabar

b. Apa yang dimaksud fungsi

c. Operasi aljabar pada fungsi

1.3 Manfaat

            Siswa dan siswi dapat mengetahui dan memahami maksud dari aljabar fungsi dan dapat mengetahui operasi aljabar pada fungsi, dan dapat menerapkannya pada kehidupan sehari hari

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Definisi Aljabar

Aljabar merupakan salah satu cabang dari matematika yang mempelajari tentang pemecahan masalah menggunakan simbol–simbol sebagai pengganti konstanta dan variabel . Aljabar sendiri ditemukan oleh seorang cendekiawan Islam yaitu beliau Al Khawarizmi. Aljabar berasal dari kata “al – jabr” yang artinya penyelesaian.

Berikut ini Beberapa istilah pada Aljabar :

Variabel : simbol pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya secara jelas
Konstanta :bilangan yang tidak memuat variabel
Koefisien : faktor konstanta dari suatu variabel

2.2 Definisi Fungsi

Fungsi dalam matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range). 

Pada fungsi, terdapat beberapa istilah penting, di antaranya:

– Domain yaitu daerah asal fungsi f dilambangkan dengan Df.

– Kodomain yaitu daerah kawan fungsi f dilambangkan dengan Kf.

– Range yaitu daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari kodomain. Range fungsi fdilambangkan dengan Rf.

2.3 .Operasi Aljabar pada Fungsi

            Bila f dan g suatu fungsi, maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian,dan pembagian dapat dinyatakan sebagai berikut.

1. Penjumlahan f dan g berlaku (f + g)(x) = f(x) + g(x)

Perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal

Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = x2 – 4. Tentukan (f + g)(x).

Penyelesaian

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

= x + 2 + x2 – 4

= x2 + x – 2

2. Pengurangan f dan g berlaku (f – g)(x) = f(x) – g(x)

Untuk memahami sifat tersebut, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh soal

Diketahui f(x) = x2 – 3x dan g(x) = 2x + 1. Tentukan (f – g)(x).

Penyelesaian

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

= x2 – 3x – (2x + 1)

= x2 – 3x – 2x – 1

= x2 – 5x – 1

3. Perkalian f dan g berlaku (f o g)(x) = f(x)o g(x)

Perhatikan contoh soal berikut ini untuk memahami fungsi tersebut.

Contoh soal

Diketahui f(x) = x – 5 dan g(x) = x2 + x. Tentukan (f × g)(x).

Penyelesaian

(f × g)(x) = f(x) . g(x)

= (x – 5)(x2 + x)

= x3 + x2 – 5x2 – 5x

= x3 – 4x2 – 5x

4. Pembagian f dan g berlaku ((x)= f(x)/g(x).

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh soal

Diketahui f(x) = x2 – 4 dan g(x) = x + 2. Tentukan (f/g) (x)

Penyeleasaian :

f/g (x)   = f(x)/g(x)

= x2-4/x+4

= (x-2) (x+2)/(x+2)

= (x-2)

5. Domain Alami Suatu Fungsi

Kalau daerah asal (domain) suatu fungsi 𝑓 tidak atau belum ditentukan, maka kita dapat mengambil daerah asalnya himpunan dari semua bilangan Real yang mungkin sehingga daerah hasilnya merupakan himpunan bilangan Real. Daerah asal yang ditentukan dengan cara seperti itu disebut daerah asal alami atau domain alami atau natural domain.

Contoh Soal 1:

Tentukan daerah asal alami (natural domain) dari tiap fungsi berikut ini.

1. 𝑓 𝑥 = 4 𝑥+1

2. 𝑔 𝑥 = 1 𝑥 2−4𝑥+3

3. 𝑝 𝑥 = 4 − 𝑥2

4. 𝑞 𝑥 = 5 𝑥 2−5𝑥+6

Penyelesaian:

1. 𝑓 𝑥 = 4 𝑥+1

Supaya 𝑓(𝑥) bernilai real, maka 𝑥 + 1 ≠ 0 atau 𝑥 ≠ −1.

Jadi, 𝐷𝑓 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑅 dan 𝑥 ≠ −1}.

2. 𝑔 𝑥 = 1 𝑥 2−4𝑥+3

Supaya 𝑔 𝑥 bernilai real, maka 𝑥2 − 4𝑥 + 3 ≠ 0 𝑥2 − 4𝑥 + 3 ≠ 0 𝑥 − 1 𝑥 − 3 ≠ 0

𝑥 ≠ 1 dan 𝑥 ≠ 3

Jadi, 𝐷𝑔 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑅 dan 𝑥 ≠ 1; 𝑥 ≠ 3}.

3. 𝑝 𝑥 = 4 − 𝑥2

Supaya 𝑝 𝑥 bernilai real, maka 4 − 𝑥2 ≥ 0 4 − 𝑥2 ≥ 0

𝑥2 − 4 ≤ 0 𝑥 − 2 𝑥 + 2 ≤ 0 → −2 ≤ 𝑥 ≤ 2

Jadi, 𝐷𝑝 = {𝑥| − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2; 𝑥 ∈ 𝑅}.

4. 𝑞 𝑥 = 5 𝑥 2−5𝑥+6

Supaya 𝑞(𝑥) bernilai real, maka𝑥2 − 5𝑥 + 6 > 0 𝑥2 − 5𝑥 + 6 > 0 𝑥 − 2 𝑥 − 3 > 0 → 𝑥 < 2 atau 𝑥 > 3

Jadi, 𝐷𝑞 = {𝑥|𝑥 < 2 atau 𝑥 > 3; 𝑥 ∈ 𝑅

Contoh Soal 2:

Misalkan fungsi-fungsi 𝑓 dan 𝑔 ditentukan dengan rumus

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 dan 𝑔 𝑥 = 16 − 𝑥2

Carilah fungsi-fungsi berikut ini, kemudian tentukanlah domain alaminya.

1. 𝑓 + 𝑔 (𝑥)

2. 𝑓 − 𝑔 (𝑥)

3. 𝑓. 𝑔 (𝑥)

4. 𝑓𝑔 𝑥

5. 𝑓3(𝑥)

Penyelesaian:

Fungsi 𝑓 akan bernilai real jika 𝑥 + 1 ≥ 0 atau 𝑥 ≥ −1.

Domain alami fungsi 𝑓 adalah 𝐷𝑓 = {𝑥|𝑥 ≥ −1; 𝑥 ∈ 𝑅}.

Fungsi 𝑔 akan bernilai real jika 16 − 𝑥2 ≥ 0. 16 − 𝑥2 ≥ 0 𝑥2 − 16 ≤ 0 𝑥 − 4 𝑥 + 4 ≤ 0 → −4 ≤ 𝑥 ≤ 4

Domain alami fungsi 𝑔 adalah 𝐷𝑔 = {𝑥| − 4 ≤ 𝑥 ≤ 4; 𝑥 ∈ 𝑅}.

1. 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1 + 16 − 𝑥2

Domain alami fungsi 𝑓 + 𝑔 (𝑥) adalah 𝐷𝑓+𝑔 = {𝑥| − 1 ≤ 𝑥 ≤ 4; 𝑥 ∈ 𝑅}

2. 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1 − 16 − 𝑥2

Domain alami fungsi 𝑓 − 𝑔 (𝑥) adalah 𝐷𝑓−𝑔 = {𝑥| − 1 ≤ 𝑥 ≤ 4; 𝑥 ∈ 𝑅}

3. 𝑓. 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1. 16 − 𝑥2 = 𝑥 + 1 (16 − 𝑥2)

Domain alami fungsi 𝑓. 𝑔 (𝑥) adalah 𝐷𝑓.𝑔 = {𝑥| − 1 ≤ 𝑥 ≤ 4; 𝑥 ∈ 𝑅}

4. 𝑓𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥+1 16−𝑥 2 = 𝑥+1 16−𝑥 2

Domain alami fungsi 𝑓𝑔 𝑥 adalah 𝐷𝑓𝑔 = {𝑥| − 1 ≤ 𝑥 < 4; 𝑥 ∈ 𝑅}

5. 𝑓3 𝑥 = 𝑓 𝑥 3 = 𝑥 + 1 3 = 𝑥 + 1 𝑥 + 1

Domain alami fungsi 𝑓3(𝑥) adalah 𝐷𝑓3 = {𝑥|𝑥 ≥ −1; 𝑥 ∈ 𝑅}.

BAB III

PENUTUP

Demikianlah makalah yang kami buat ini, semoga bermanfaat dan menambah pengetahuan para pembaca. Kami mohon maaf apabila ada kesalahan ejaan dalam penulisan kata dan kalimat yang kurang jelas, dimengerti, dan lugas.Karena kami hanyalah manusia biasa yang tak luput dari kesalahan Dan kami juga sangat mengharapkan saran dan kritik dari para pembaca demi kesempurnaan makalah ini. Sekian penutup dari kami semoga dapat diterima di hati dan kami ucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya.

3.1 Kesimpulan

Dari penjelasan di atas, maka  dapat menyimpulkan bahwa sesuai dengan makalah “Aljabar Fungsi ” Aljabar fungsi adalah rumus matematika yang digunakan untuk memecahkan masalah menggunakan penjumlahan, pengurangan, perkalian,dan pembagian dikehidupan sehari-hari.

SOAL DAN JAWABAN

1. Diketahui f(x) = 5x – 3 dan g (x – 2) = 2x + 3. Tentukan :

a. Rumus fungsi g (x)
b. h (x) jika diketahui (h ₒ g) (x) = 6x + 23

jawaban

a. Misalkan t = x – 2 → x = t + 2
g (x – 2) = 2x + 3
→ g (t) = 2 (t + 2) + 3
→ g (t) = 2t + 4 + 3
→ g (t) = 2t + 7
→ g (x) = 2x + 7

Jadi, rumus fungsi g (x) = 2x + 7

b. Misalkan g(x) = t = 2x + 7 → t-7/2
(h ₒ g)(x) = 6x + 23
→ h (g(x)) = 6x + 23
→h(2x + 7) = 6x + 23
→ h (t) = 6 (t-7/2) + 23
→ h (t) = 3 (t – 7) + 23
→ h (t) = 3t + 2
→ h (x) = 3x + 2

Jadi, h (x) = 3x + 2

2. Jika f(x) = x – 3 dan  g(x) = 2x³ + 5x,  tentukan hasil operasi fungsi berikut.

a.        ( f + g )(x)

b.      ( f – g )(x)

c.       (fg)(x)

d.       ( f/g )(x)

Penyelesaian :

a.        ( f + g )(x) = f(x) + g(x)
                   = (x - 3) + (2x³ + 5x)
                   = 2x³ + 6x - 3

                  

b.       ( f  - g )(x) = f(x) - g(x)
                  = (x - 3) - (2x³ + 5x)
                = -2x³ - 4x - 3                 

c.      (fg)(x) = f(x) g (x)
           =(x-3)(2x³ + 5x)          
           =2x⁴ + 5x² - 6x³ - 15x
           =2x⁴ -6x³ +5x² - 15x

                  

d.     ( f/g )(x) = f(x) / g(x)
             = (x - 3) / (2x³ + 5x)

DAFTAR PUSTAKA

Lestari, Sri dan Diah Ayu K. 2009. Matematika 2 untuk SMA/MA Program Studi IPS

Kelas XI. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 2: Konsep dan

Aplikasinya untuk Kelas XI SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas

XI Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Wirodikromo, Sartono. 2003. Matematika 2000 untuk SMU Jilid 3 Kelas 2 Semester

1. Jakarta: Erlangga.